如何证明勾股定理，《几何原本》中的证法

有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，据说分别来源于中国和希腊。中国方法:画两个边长为(a+b)的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边。这两个正方形全等，故面积相等。左与图各有四个与原直角三角形全等的三角形，左右四个三角形面积之和必相等。从左右中都把四个三角形去掉，图形剩下部分的面积必相等。左剩下两个正方形，分别以a、b为边。右剩下以c为边的正方形。于是a2+b2=c2。这就是我们几何教科书中所介绍的方法。既直观又简单，任何人都看得懂。希腊方法:直接在直角三角形三边上画正方形,容易看出，△ABA’≌△AA’’C。过C向A’’B’’引垂线，交AB于C’，交A’’B’’于C’’。△ABA’与正方形ACDA’同底等高,前者面积为后者面积的一半，△AA’’C与矩形AA’’C’’C’同底等高，前者的面积也是后者的一半。由△ABA’≌△AA’’C，知正方形ACDA’的面积等于矩形AA’’C’’C’的面积。同理可得正方形BB’EC的面积等于矩形B’’BC’C’’的面积。于是，S正方形AA’’B’’B=S正方形ACDA’+S正方形BB’EC，即a2+b2=c2。至于三角形面积是同底等高的矩形面积之半，则可用割补法得到（请读者自己证明）。这里只用到简单的面积关系，不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。 如何证明勾股定理，《几何原本》中的证法

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